当两个变量有线性关系时，通常使用简单线性回归测定它们的关系。但变量间有二次关系时，应该使用二次回归进行拟合。本文介绍R如何实现二次回归。
示例
假设我们希望理解工作时长与幸福感之间的关系。现收集到下面数据集，包括每周工作时长以及调查反馈的幸福感（0~100）：
#create data
data <- data.frame(hours=c(6, 9, 12, 14, 30, 35, 40, 47, 51, 55, 60),
happiness=c(14, 28, 50, 70, 89, 94, 90, 75, 59, 44, 27))
#view data
data
# hours happiness
# 1 6 14
# 2 9 28
# 3 12 50
# 4 14 70
# 5 30 89
# 6 35 94
# 7 40 90
# 8 47 75
# 9 51 59
# 10 55 44
# 11 60 27
首先我们利用散点图看下变量之间的关系：
plot(data$hours, data$happiness, pch=16)
上图明显看到变量之间不是线性关系。下面我们使用简单线性回归模型看下数据拟合情况：
# 拟合简单线性模型
linearModel <- lm(happiness ~ hours, data=data)
# 查看模型概要信息
summary(linearModel)
# Call:
# lm(formula = happiness ~ hours, data = data)
#
# Residuals:
# Min 1Q Median 3Q Max
# -39.34 -21.99 -2.03 23.50 35.11
#
# Coefficients:
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept) 48.4531 17.3288 2.796 0.0208 *
# hours 0.2981 0.4599 0.648 0.5331
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 28.72 on 9 degrees of freedom
# Multiple R-squared: 0.0446, Adjusted R-squared: -0.06156
# F-statistic: 0.4201 on 1 and 9 DF, p-value: 0.5331
通过Multiple R-squared: 0.0446表明模型仅能解释4.46%幸福感 。下面我们采用二次回归模型：
# 创建新的二次变量
data$hours2 <- data$hours^2
# 拟合二次回归模型
quadraticModel <- lm(happiness ~ hours + hours2, data=data)
# 查看模型概要信息
summary(quadraticModel)
# Call:
# lm(formula = happiness ~ hours + hours2, data = data)
#
# Residuals:
# Min 1Q Median 3Q Max
# -6.2484 -3.7429 -0.1812 1.1464 13.6678
#
# Coefficients:
# Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
# (Intercept) -18.25364 6.18507 -2.951 0.0184 *
# hours 6.74436 0.48551 13.891 6.98e-07 ***
# hours2 -0.10120 0.00746 -13.565 8.38e-07 ***
# ---
# Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
# Residual standard error: 6.218 on 8 degrees of freedom
# Multiple R-squared: 0.9602, Adjusted R-squared: 0.9502
# F-statistic: 96.49 on 2 and 8 DF, p-value: 2.51e-06
这次我们看到模型可以解释96.2%的幸福感方差。下面利用可视化方式查看模型拟合数据情况：
# 创建时长序列
hourValues <- seq(0, 60, 0.1)
# 使用二次模型预测幸福感
happinessPredict <- predict(quadraticModel, list(hours=hourValues, hours2=hourValues^2))
# 创建原始数据的散点图
plot(data$hours, data$happiness, pch=16)
# 基于二次回归增加预测线
lines(hourValues, happinessPredict, col='blue')
可以看到二次回归模型拟合效果非常好。我们再看看二次模型的输出信息：
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -18.25364 6.18507 -2.951 0.0184 *
hours 6.74436 0.48551 13.891 6.98e-07 ***
hours2 -0.10120 0.00746 -13.565 8.38e-07 ***
基于上面的输出信息，二次回归模型应该为：
** Happiness = -0.1012(hours) 2 {^2} 2 + 6.7444(hours) – 18.2536
我们可以利用这个方程基于每周工作时长来计算幸福感。
例如，一个每周工作60小时的人的幸福水平预计为22.09:
幸福= -0.1012(60) 2 {^2} 2 + 6.7444(60)- 18.2536 = 22.09
相反，每周工作30小时的人的幸福水平预计为92.99:
幸福= -0.1012(30) 2 {^2} 2 + 6.7444(30)- 18.2536 = 92.99
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